Événements indépendants - Exercice résolu

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Une entreprise a fait une enquête auprès de ses 150 salariés afin de mieux connaître les moyens de transport qu'ils utilisent pour venir travailler. Les résultats de cette enquête sont donnés ci-dessous.

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&\text{Voiture} & \text{Transports en commun}& \text{Vélo}& \text{Total}\\\hline\text{Moins de 40 ans} & 7 & 60 & 23 & 90 \\\hline\text{40 ans ou plus } & 11 & 40 & 9 & 60\\\hline\text{Total} &18 & 100 & 32 & 150\\\hline\end{array}\)

On interroge au hasard un salarié de cette entreprise et on note :

• \(A\) l'événement : « Le salarié a moins de 40 ans » ;
• \(T\)  l'événement : « Le salarié utilise les transports en commun » ;
• \(V\)  l'événement : « Le salarié vient en vélo ».

    a. Les événements \(A\)  et \(T\) sont-ils indépendants ?

    b. Les événements \(A\) et \(V\) sont-ils indépendants ?

2. Soit \(A\) et \(B\) deux événements indépendants d'un même univers tels que \(P(A)=0{,}6\) et \(P(B)=0{,}65\) .

    a. Calculer \(P(A \cap B)\) .

    b. En déduire \(P(A \cup B)\) .

Solution

1. a.  \(P(T)\neq 0\)  donc les événements  \(A\)  et  \(T\)  sont indépendants si et seulement si  \(P(A)=P_T(A)\) .

Parmi les \(150\) salariés, \(90\) ont moins de 40 ans donc  \(P(A)=\dfrac{90}{150}=0{,}6\) .

Parmi les \(100\) salariés utilisant les transports en commun, \(60\)  ont moins de 40 ans donc  \(P_T(A)=\dfrac{60}{100}=0{,}6\) .

On constate que  \(P(A)=P_T(A)\)  donc les    événements  \(A\)  et  \(T\)  sont indépendants.

Remarque

On aurait pu aussi démontrer que  \(P(T)=P_A(T)\)  ou encore, en utilisant la propriété du cours, que  \(P(A \cap T)=P(A) \times P(T)\) .

    b.  \(P(V) \neq 0\)  donc les événements  \(A\)  et  \(V\)  sont indépendants si et seulement si  \(\) \(P(A)=P_V(A)\) .

D'après la question a,  \(P(A)=0{,}6\) .

Parmi les  \(32\)  salariés venant en vélo,  \(23\)  ont moins de 40 ans donc  \(P_V(A)=\dfrac{23}{32} \approx 0{,}72\)  (valeur arrondie au centième).

On constate donc que  \(P(A) \neq P_V(A)\)  : les événements  \(A\)  et  \(V\)  ne sont donc pas indépendants.

Remarque

On aurait pu aussi démontrer que  \(P(V)\neq P_A(V)\)  ou encore, en utilisant la propriété du cours, que  \(P(A \cap V)=P(A) \times P(V)\) .

2. a. Les événements  \(A\)  et  \(B\)  sont indépendants donc : \(P(A \cap B)=P(A) \times P(B)=0{,}6 \times 0{,}65=0{,}39\) .

    b. On sait, d'après une propriété vue en seconde, que :
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)  donc  \(P(A \cup B)=0{,}6+0{,}65-0{,}39=0{,}86\) .