Événements indépendants - Exercice résolu

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Une entreprise a fait une enquête auprès de ses 150 salariés afin de mieux connaître les moyens de transport qu'ils utilisent pour venir travailler. Les résultats de cette enquête sont donnés ci-dessous.

$\begin{array}{|ccccc|}\hline & \text{Voiture}& \text{Transports en commun}& \text{Vélo}& \text{Total}\\ \text{Moins de 40 ans}& 7& 60& 23& 90\\ \text{40 ans ou plus }& 11& 40& 9& 60\\ \text{Total}& 18& 100& 32& 150\\ \hline\end{array}$

On interroge au hasard un salarié de cette entreprise et on note :

• $A$ l'événement : « Le salarié a moins de 40 ans » ;
• $T$  l'événement : « Le salarié utilise les transports en commun » ;
• $V$  l'événement : « Le salarié vient en vélo ».

    a. Les événements $A$  et $T$ sont-ils indépendants ?

    b. Les événements $A$ et $V$ sont-ils indépendants ?

2. Soit $A$ et $B$ deux événements indépendants d'un même univers tels que $P(A)=0,6$ et $P(B)=0,65$ .

    a. Calculer $P(A\cap B)$ .

    b. En déduire $P(A\cup B)$ .

Solution

1. a.  $P(T)\ne 0$  donc les événements  $A$  et  $T$  sont indépendants si et seulement si  $P(A)=P_T(A)$ .

Parmi les $150$ salariés, $90$ ont moins de 40 ans donc  $P(A)={\displaystyle \frac{90}{150}}=0,6$ .

Parmi les $100$ salariés utilisant les transports en commun, $60$  ont moins de 40 ans donc  $P_T(A)={\displaystyle \frac{60}{100}}=0,6$ .

On constate que  $P(A)=P_T(A)$  donc les    événements  $A$  et  $T$  sont indépendants.

Remarque

On aurait pu aussi démontrer que  $P(T)=P_A(T)$  ou encore, en utilisant la propriété du cours, que  $P(A\cap T)=P(A)\times P(T)$ .

    b.  $P(V)\ne 0$  donc les événements  $A$  et  $V$  sont indépendants si et seulement si  $$ $P(A)=P_V(A)$ .

D'après la question a,  $P(A)=0,6$ .

Parmi les  $32$  salariés venant en vélo,  $23$  ont moins de 40 ans donc  $P_V(A)={\displaystyle \frac{23}{32}}\approx 0,72$  (valeur arrondie au centième).

On constate donc que  $P(A)\ne P_V(A)$  : les événements  $A$  et  $V$  ne sont donc pas indépendants.

Remarque

On aurait pu aussi démontrer que  $P(V)\ne P_A(V)$  ou encore, en utilisant la propriété du cours, que  $P(A\cap V)=P(A)\times P(V)$ .

2. a. Les événements  $A$  et  $B$  sont indépendants donc : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)=0,6\times 0,65=0,39$ .

    b. On sait, d'après une propriété vue en seconde, que :
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$  donc  $P(A\cup B)=0,6+0,65-0,39=0,86$ .